Voici deux casse-tête commandés au service d’étage.
1) Un sandwich numérique est une ligne de chiffres telle qu’il y a un chiffre pris en sandwich entre les 1, deux chiffres pris en sandwich entre les 2, trois chiffres pris en sandwich entre les 3, et ainsi de suite. Par exemple, 312132 est un chiffre sandwich avec les chiffres 1, 2 et 3.
Construisez un sandwich de chiffres avec les chiffres 1, 2, 3 et 4. (Chaque chiffre apparaîtra exactement deux fois).
Solution : passez le curseur sur le texte caché ci-dessous pour faire apparaître la solution
4 1 3 1 2 4 3 2 (ou le même ordre à l’envers)
2) Un club sandwich numérique est un sandwich numérique dans lequel chaque chiffre apparaît exactement trois fois. Les mêmes règles que ci-dessus s’appliquent : un chiffre est pris en sandwich entre deux 1 consécutifs, deux chiffres sont pris en sandwich entre deux 2 consécutifs, et ainsi de suite.
Construisez un club sandwich numérique avec les chiffres de 1 à 9. Pour vous aider, cinq chiffres ont été placés dans leur position correcte.
Les 27 positions sont constituées des chiffres de 1 à 9 utilisés exactement 3 fois chacun.
Solution : passez le curseur sur le texte caché ci-dessous pour faire apparaître la solution
3 4 7 9 3 6 4 8 3 5 7 4 6 9 2 5 8 2 7 6 2 5 1 9 1 8 1
Voici comment on y arrive. Regardez le 4 qui est placé en tant que départ. Il y a deux autres 4 dans la ligne. Soit un 4 est à gauche du 4 initial et un autre à droite, soit les deux sont à droite. (Il n’y a pas assez de place pour que les deux autres 4 soient à gauche.) Nous pouvons en déduire qu’il doit y avoir un 4 qui se trouve à quatre chiffres à droite. De même, il doit y avoir un 5 à cinq chiffres à gauche du 5 donné.
_ _ _ _ _ _ 4 _ 3 5 _ 4 _ _ _ 5 _ 2 _ _ _ _ 1 _ _ _ _
Nous ne pouvons pas placer les deux 2 manquants à gauche du 2 donné, donc l’un doit être à droite. Cela empêche tout 1 d’être à gauche du 1 donné, ce qui signifie que les deux 1 manquants doivent être à droite.
_ _ _ _ _ _ 4 _ 3 5 _ 4 _ _ _ 5 _ 2 _ _ 2 _ 1 _ 1 _ 1
Voyons maintenant où peuvent aller les 9. Si le 9 est en position 1, il y a un 9 en positions 11 et 21. Cependant, la position 21 est déjà occupée par un 2, donc le 9 ne peut pas être en position 1. Si le 9 est en position 2, il y a un 9 en positions 12 et 22. Cependant, la position 12 est occupée par un 4, donc un 9 ne peut pas être en position 2. Après avoir examiné toutes les possibilités, nous en déduisons que la seule position qui fonctionne est un 9 en position 4, 14 et 24.
_ _ _ 9 _ _ 4 _ 3 5 _ 4 _ 9 _ 5 _ 2 _ _ 2 _ 1 9 1 _ 1
Ce qui force les positions du 2 et du 5 final :
_ _ _ 9 _ _ 4 _ 3 5 _ 4 _ 9 2 5 _ 2 _ _ 2 5 1 9 1 _ 1
Les 6 n’ont qu’une seule position à prendre :
_ _ _ 9 _ 6 4 _ 3 5 _ 4 6 9 2 5 _ 2 _ 6 2 5 1 9 1 _ 1
Ce qui fixe les 3 :
3 _ _ 9 3 6 4 _ 3 5 _ 4 6 9 2 5 _ 2 _ 6 2 5 1 9 1_ 1
L’avant-dernier espace est soit un 7 soit un 8. Ce doit être un 8, donc on obtient :
3 _ _ 9 3 6 4 8 3 5 _ 4 6 9 2 5 8 2 _ 6 2 5 1 9 1 8 1
Et pour finir
3 4 7 9 3 6 4 8 3 5 7 4 6 9 2 5 8 2 7 6 2 5 1 9 1 8 1
Note :
Les sandwichs numériques sont plus communément connus en mathématiques sous le nom de suites de Langford, d’après le mathématicien écossais C. Dudley Langford qui a remarqué un jour que son enfant avait empilé trois paires de blocs de couleur de telle sorte qu’il y avait un bloc entre la paire rouge, deux blocs entre la paire bleue et trois blocs entre la paire verte. Langford (senior !) a trouvé un sandwich numérique pour 3, 4, 7, 8, 11 et 15 paires, et a soumis ses résultats à la Mathematical Gazette en 1958.
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