Le théorème du singe infini (aussi appelé « paradoxe du singe savant« ) stipule que si vous laissez un singe frapper au hasard les touches d’une machine à écrire un nombre infini de fois, le singe finira par taper l’intégralité des œuvres de Shakespeare.
L’énigme ci-dessous implique qu’un singe tape quelque chose d’un peu plus court.
Le mot magique
Un singe est assis devant une machine à écrire qui ne comporte que 26 touches, une par lettre de l’alphabet. Le singe tape au hasard, à la vitesse constante d’une lettre par seconde. Il ne privilégie aucune lettre : toutes les lettres à chaque seconde ont une probabilité de 1/26 d’être tapées.
Lequel des éléments suivants est le plus grand ?
a) le temps moyen qu’il faudra au singe pour taper « abracadabra« .
b) le temps moyen qu’il faudra au singe pour taper « abracadabrx« .
Il ne s’agit pas d’une question piège. Le mot « abracadabra » comporte 11 lettres et a donc une probabilité de (1/26)11 d’apparaître au cours d’un sort de 11 secondes. De même, le mot « abracadabrx » comporte 11 lettres et a également une probabilité de (1/26)11 d’apparaître au cours d’un sort de 11 secondes. Cette observation ne signifie pas pour autant qu’ils apparaîtront en moyenne après le même laps de temps.
(La question n’est PAS de savoir quel mot le singe va taper en premier. La question est de savoir ce qui se passera à long terme. Imaginons que le singe tape depuis si longtemps que « abracadabra » et « abracadabrx » sont apparus plusieurs fois ; en moyenne, combien de temps le singe a-t-il mis pour taper chacun de ces mots ?)
Avant d’en venir à la réponse, quelques précisions. Lorsque je dis « le temps moyen qu’il faudra au singe pour taper abracadabra », je ne parle pas du temps qu’il met pour taper le mot « abracadabra » tout seul, qui est toujours de 11 secondes (ou 10 secondes puisque la première lettre est tapée à zéro seconde et la 11e lettre à la 10e seconde). Je veux parler de la moyenne du temps nécessaire pour arriver à un « abracadabra« , soit à partir du début de l’expérience, soit à partir d’une apparition précédente d’un « abracadabra« . Une autre façon de formuler la question serait la suivante : à long terme, lequel de « abracadabra » ou de « abracadabrx » apparaît le plus souvent ? Celui qui apparaît le plus souvent est celui qu’il faut en moyenne moins de temps pour atteindre.
Deuxièmement, si le singe tape « abracadabracadabra« , cela ne compte que pour un seul « abracadabra« . De même, « abracadabrabracadabra » ne compte que pour un seul « abracadabra« . En d’autres termes, le singe doit taper le mot « abracadabra » entièrement, ce qui compte pour une apparition, puis le singe doit le taper à nouveau entièrement pour l’apparition suivante.
La solution se trouve ci-dessous (texte en blanc, sélectionner l’ensemble du bloc pour le faire apparaître)
Réponse : a) est plus grand. En moyenne, nous devrons attendre plus longtemps pour que le singe tape « abracadabra » que « abracadabrx ».
Travail : Une bonne façon d’aborder ce problème est de considérer ce qui se passe lorsque le singe a tapé « abracadabr ».
Cas 1 : nous cherchons à déterminer le temps moyen qu’il faut au singe pour taper « abracadabra ».
Si le singe tape un « a », il a tapé « abracadabra ». Nous avons terminé. S’il ne tape pas de « a », il échoue et doit recommencer. Dans tous les cas, le singe repart à zéro.
Cas 2 : nous cherchons à déterminer le temps moyen que met le singe à taper « abracadabrx ».
Si le singe tape un « x », il a tapé « abracadabrx ». Nous avons terminé. S’il ne tape pas de ‘x’, il échoue. Mais il ne recommence pas à zéro ! Il y a 1/26 de chances que le singe tape un ‘a’, et si le singe tape un ‘a’, il commencera à partir de ‘abra’, c’est-à-dire avec quatre lettres déjà en place.
Ce raisonnement explique pourquoi les « abracadabra » se produisent en moyenne moins souvent que les « abracadabrx ».
En fait, en moyenne, vous obtiendrez un « abracadabrx » environ cinq jours plus tôt qu’un « abracadabra », même si le temps moyen nécessaire pour obtenir l’un ou l’autre est d’environ 100 millions d’années.