Comment remplir le rectangle avec des nombres carrés ? (solution)

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La solution au problème posé il y a une semaine est :

 

 

Chaque chiffre du nombre de la dernière ligne est un chiffre final des nombres des trois premières colonnes. Comme tous les nombres carrés se terminent par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, et que les nombres carrés à deux chiffres ne se terminent pas par 0, et que tous les nombres doivent être différents, la dernière ligne ne peut être que 144, 169, 196 ou 961.

Il en résulte pour l’avant-dernière ligne les possibilités 86ABC, 81ABC, 83ABC, 84ABC, 41ABC et 43ABC, ABC pouvant aller de 000 à 999. B et C sont les derniers chiffres de la quatrième et de la cinquième colonne. A, en revanche, est l’avant-dernier chiffre du nombre de la troisième colonne. Si l’on essaie les quelques nombres carrés possibles pour l’avant-dernière ligne, seuls 41616 et 43264 remplissent les conditions pour A, B et C.

Dans le premier cas, la dernière colonne doit contenir 36 et le nombre carré de la deuxième ligne doit donc se terminer par 3. Mais c’est impossible, c’est pourquoi ce cas est éliminé. Dans le deuxième cas, la dernière colonne doit contenir 64. Parmi les six nombres carrés à deux chiffres, il ne reste plus que 16, 25 et 81 comme possibilités pour la première ligne. Ainsi, le nombre de la troisième colonne ne peut avoir que la forme 1X21, 2X21 ou 8X21. Cependant, seul 1521 est un nombre carré. Le reste est simple.

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